Kapaliny s vysokým -Prandtlovým-číslem (Pr=500, typické pro oleje s vysokou-viskozitou, glycerin nebo taveniny polymerů) mají velmi nízkou tepelnou difuzivitu ve srovnání s difuzivitou hybnosti. Při zahřívání-převažuje přenos tepla vedením, nikoli prouděním. Doba, po kterou ohřívač PFA přivede takovou kapalinu na 90 % nastavené hodnoty, se řídí časovou konstantou tepelné difúze, nikoli wattovou hustotou ohřívače. Pro nádrž s charakteristickou délkou L (např. 0,5 m) je čas tepelné difuze τ_diff=L² / , kde je tepelná difuzivita (m²/s). Pro Pr=500, za předpokladu tepelné difuzivity=ν/Pr, s ν typickým pro olej (50 cSt=5e-5 m²/s),=5e-5/500=1e-7 m²/s. Pro L=0.5 m, τ_diff=(0,5)² / 1e-7=0.25 / 1e-7=2.5e6 sekund=694 hodin. To je 29 dní - zjevně nepraktické. Výpočet odhaluje klíčový poznatek: pro kapaliny s velmi vysokým Pr vyžaduje rovnoměrný ohřev nucenou konvekci nebo velmi dlouhé doby namáčení. Technici musí použít recirkulační čerpadla nebo více ohřívačů, aby snížili efektivní délku tepelné difúze.
Metoda výpočtu doby zahřívání-
The 90% setpoint time for a batch of fluid heated by an immersed PFA heater is the sum of two components: (1) the time to heat the boundary layer near the heater, and (2) the time for heat to diffuse through the bulk fluid. For low-Pr fluids (water, Pr≈7), bulk mixing (natural convection) dominates, and the time is governed by the heater power. For high-Pr fluids (Pr>100), přirozená konvekce je slabá nebo chybí a přenos tepla je vedením-omezený.
Fourierovo číslo Fo=× t / L² určuje hloubku průniku teploty. Pro tekutinu zpočátku na T0 s ohřívačem na Twall dosáhne teplota ve vzdálenosti x 90 % (Twall – T0), když Fo ≈ 0,5 (pro polo-nekonečnou desku) nebo Fo ≈ 0,2 (pro kouli). Pro nádrž 0,5 m, =1e-7 m²/s, L=0.5 m, Fo=0.2 → t=Fo × L² /=0.2 × 0,25 / 1e-7=500 000 sekund=5.8 dnů. To je ještě hodně dlouhé.
Praktický přístup:
Vypočítejte tepelnou difuzivitu kapaliny:=k / (ρ × c_p), kde k je tepelná vodivost (W/m·K), ρ je hustota, c_p je měrné teplo.
Odhadněte charakteristickou délku difuze L=průměr nádrže nebo polovinu nejmenšího rozměru.
Vypočítejte dobu vedení: t_cond=0.2 × L² / .
Porovnejte s časem, kdy byla tekutina dobře-promíchána: t_mix=m × c_p × ΔT / P, kde m je hmotnost, P je výkon ohřívače.
Skutečný čas je maximum t_cond a t_mix (podle toho, co je delší), protože tekutina se nemůže ohřívat rychleji, než umožňuje difúze.
Příklad výpočtu Pr=500 oleje
| Parametr | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|
| Tekutina | Těžký olej (ISO VG 220) | |
| Nárůst teploty ΔT | 20 stupňů až 80 stupňů (60 stupňů) | |
| Velikost nádrže (krychle) | 0,5 m na každou stranu | |
| Objem | 125 L | |
| Mše | 110 kg (ρ=880 kg/m³) | |
| Měrné teplo c_p | 2 000 J/kg·K | |
| Tepelná vodivost k | 0.14 W/m·K | |
| Tepelná difuzivita | 0.14 / (880×2000) = 7.95e-8 ≈ 8e-8 m²/s | |
| Prandtlovo číslo | Pr=ν/ , ν=4e-5 m²/s → 4e-5/8e-8=500 | |
| Doba vedení t_cond | 0,2 × (0,5)² / 8e-8=0.05 / 8e-8=625 000 s=7.2 dnů | |
| Výkon topení (předpokládejme 3 kW) | 3,000 W | |
| Smíšený čas t_mix | (110×2000×60) / 3000=13,200 000/3000=4,400 s=1.2 hodin | |
| Skutečných 90% času | 7,2 dne (omezeno šíření-) |
Bez recirkulace dosáhne olej u ohřívače 80 stupňů během několika hodin, ale olej na vzdálenější stěně nádrže se zahřeje přes týden. Ohřívač by se při čekání na hromadné zahřátí-místně přehříval (usazeniny, degradoval PFA).
Strategie zmírnění pro kapaliny s vysokým-pr
| Strategie | Efektivní L (m) | Nový t_cond | Náklady na implementaci |
|---|---|---|---|
| Přirozená konvekce (žádná) | 0.5 | 7,2 dne | $0 |
| Nainstalujte recirkulační čerpadlo (1 m³/h) | N/A (smíšené) | 1,2 hodiny (omezeno-mix) | $1,500 |
| Použijte více ohřívačů (3 ohřívače, rozmístěné) | 0,25 (poloviční vzdálenost) | 1,8 dne | 2 000 $ (2 ohřívače navíc) |
| Nainstalujte statické míchací desky | 0.3 | 2,6 dne | $800 |
| Použijte ohřívač s prodlouženými lamelami | 0.4 | 4,6 dne | $300 |
| Míchejte mechanickým míchadlem (100 ot./min.) | N/A (smíšené) | 1,2 hodiny (omezeno-mix) | 2 500 $ (motor + hřídel) |
Recirkulace nebo mechanické promíchávání je jediným praktickým řešením pro Pr > 100. Bez míchání se zahřívací-doba změní na dny nebo týdny a ohřívač PFA se přehřeje a selže v důsledku tvorby vodního kamene (pokud je na bázi vody-) nebo oxidace (na bázi oleje-). Pro Pr=500 určete recirkulační čerpadlo dimenzované na alespoň 1 objemový obrat za hodinu.
Příklad pole
Farmaceutická továrna ohřívala glycerin s vysokou{0}}viskozitou (Pr≈600, 50 stupňů až 90 stupňů) v nádrži o objemu 200 l s jedním ohřívačem PFA o výkonu 6 kW bez recirkulace. Po 24 hodinách byl glycerin v blízkosti ohřívače 90 stupňů, ale objem byl pouze 55 stupňů. Povrch ohřívače dosáhl 150 stupňů, což způsobilo polymeraci glycerinu a znečištění. Zařízení přidalo recirkulační čerpadlo (2 m³/h). Po 3 hodinách dosáhla celá nádrž 88–92 stupňů a povrch ohřívače zůstal pod 110 stupni. Polymerace se zastavila. 1 000 ušetřených čerpadel za 1 000 ušetřených čerpadel za 5 000 výměn ohřívače a týdny odstávky.
Závěr: U tekutin Pr=500 dominuje doba difúze
U kapaliny s vysokým -Prandtlovým-číslem (Pr=500) se doba, po kterou ohřívač PFA dosáhne 90 % nastavené hodnoty, řídí tepelnou difuzí, nikoli výkonem ohřívače. V 0,5 m nádrži bez míchání je doba vedení 5–10 dní-100× delší než doba míchání. Bez nucené konvekce nebo mechanického míchání se ohřívač lokálně přehřeje, což způsobí vodní kámen, znečištění nebo degradaci PFA. Technici musí specifikovat recirkulační čerpadla nebo míchadla pro jakoukoli procesní kapalinu s Pr > 100. Metoda výpočtu: t_90 %=0.2 × L² / . Pokud t_90 % překročí přijatelnou dobu zpracování, přidejte míchání. Pro Pr=500 smíchejte nebo počkejte dní. Volba je jasná.
